Одним из важнейших принципиально новых результатов в области бесконечномерного анализа и математической физики с момента создания лаборатории стало построение (инициатором и научным руководителем лаборатории О.Г.Смоляновым в соавторстве с Н.Н.Шамаровым) исчисления канонических плотностей некоторых цилиндрических мер на бесконечномерных пространствах, а именно, таких цилиндрических мер, которые являются бесконечно-дифференцируемыми (например, в смысле С.В.Фомина либо в смысле теории распределений или обобщенных функций) по всем направлениям. Эта конструкция, на первый взгляд относящаяся к рафинированному бесконечномерному математическому анализу (в широком смысле, включающем анализ функциональный), с точки зрения математической физики не только была мотивирована математическими вопросами квантовой теории поля, но и позволила взглянуть на бозонные пространства Фока с такой новой стороны, благодаря которой на уровне формул бозонное вторичное квантование оказалось тождественным первичному (по Шрёдингеру--Вейлю).

Подробнее опишем детали такой конструкции, предполагая у читателя знакомство с университетским курсом математики в области функционального анализа и теории случайных процессов. Отметим, что все вводимые далее понятия являются фундаментальными для современного интегрального исчисления функций, существенно зависящих от бесконечного числа переменных. Тем не менее, при их введении будем стараться указывать более конкретные мотивировки. Кроме того, для удобства ссылок используем многоуровневую нумерацию параграфов.

1. Понятие цилиндрической меры (в простейшем случае -- на вещественных линейных пространствах) мотивировано в рамках колмогоровской теории случайных процессов следующим образом.

Естественными измеримыми отображениями на пространстве траекторий случайного процесса (действительнозначного) заявлялись отображения вычисления (значений процесса) на конечном наборе моментов времени, или, другими словами, отображения сужения п_t : w --> w|_t
вещественно-значных траекторий w: T --> R на конечное подмножество t (полужирный шрифт), лежащее в множестве T допустимых моментов времени t (обычный шрифт) нашего процесса. В такой ситуации, во-первых, при фиксированном t такое отображение п_t сужения является линейным (однородным) оператором и принимает значения в конечномерном вещественном пространстве (которое обозначим R^t и в котором будем предполагать заданной естественную топологию, задаваемую любой нормой на R^t), и, во-вторых, --- измеримость отображения п_t рассматривается относительно борелевской сигма-алгебры того конечномерного пространства R^t, в котором п_t принимает значения.

1.1. Эту ситуацию стали обобщать, в первую очередь взяв вместо "пространства траекторий" произвольное (как правило, бесконечномерное) вещественное векторное пространство, которое далее обозначим Е.

1.2. Во вторую очередь, с пространством Е связывалось некоторое множество L линейных (однородных) функционалов. Для общих определений мы не исключаем случаи, когда L конечно, или когда имеет конечномерную линейную оболочку.

(В вышеприведенном примере со случайным процессом роль множества L играли функционалы вычисления п_t : w --> w(t) в моменты t из Т, где при фиксированном t можно отождествить вещественнозначный функционал п_t с оператором п_{t} : w --> w|_{t} сужения траектории w на одноэлементное множество t = {t}.)

1.3. В третью очередь, пространство Е наделялось слабейшей (будем её обозначать знакосочетанием s(E,L), от слова simple; вместо s используют также греческую букву сигма, а также, от слова weak, букву w --- но эту уже использовали выше для других целей) среди тех топологий на E, относительно которых непрерывны все функционалы из L.

При этом сопряженное пространство (Е, s(E,L))' --- то есть, пространство всех тех вещественнозначных линейных однородных функционалов ф : Е --> R, которые непрерывны относительно топологии s(E,L), --- оказывается совпадающим с вещественной линейной оболочкой span(L)=span_R(L) множества L в линейном пространстве Е^# вообще всех линейных (однородных) вещественнозначных функционалов на Е.

1.4. В четвертую очередь, вводился класс линейных операторов, который мы обозначим F_L(E), и который состоит из всех тех линейных однородных отображений f : E --> Rⁿ со значениями во всевозможных конечномерных координатных евклидовых пространствах (пространствах строк длины n=n(f) c вещественными компонентами), таких, что f непрерывно относительно топологии s(E,L) на Е.

1.5. В пятую очередь, для каждого такого оператора f рассматривалась сигма-алгебра A_f (с ``единицей'' Е) всех s(E,L)-борелевских f-цилиндрических подмножеств в Е, то есть, прообразов вида
f^-1(B)={ x : f(x) есть элемент множества В },
где множество В выбиралось из класса борелевских подмножеств евклидова пространства R^n(f).

1.6. В шестую очередь, строилась система A_L = A_L(E) так называемых L-цилиндрических подмножеств в Е как объединение всех тех сигма-алгебр A_f , для которых оператор f выбирается из множества F_L(E).

Всякая такая система подмножеств в Е, как A_L , является теоретико-множественной алгеброй на Е; однако:
такая алгебра A_L оказывается сигма-алгеброй в том и только в том случае, когда подпространство span(L) конечномерно (в этом случае конечномерным можно назвать и само множество L).

При этом A_L=A_span(L) , то есть, в реальности алгебра A_L L-цилиндрических подмножеств определяется не столько самим множеством L, сколько его линейной оболочкой, или же любым алгебраическим линейным базисом (Гамеля) этой оболочки.

С другой стороны, алгебра A_L состоит в точности из всех тех прообразов вида f^-1(B), в которых те (``координатные'') функционалы f₁, f₂, ... f_n, для которых
f(x)= (f₁(x), f₂(x), ... f_n(x)) при всех х из Е,
являются элементами множества L , тогда как В --- по-прежнему произвольное борелевское подмножество евклидова пространства Rⁿ.

В обозначениях приведённого выше примера с процессом,
роль пространства E может играть вещественное линейное пространство R^Т всевозможных вещественнозначных функций (``траекторий''), определённых на Т.

1.7. Наконец, можем дать определение "L-цилиндрической в широком смысле комплекснозначной меры на E" как всякого такого отображения m : A_L --> C, для которого при каждом операторе f из множества F_L(E) сужение отображения m на под-сигма-алгебру A_f алгебры A_L оказывается счетно-аддитивным.

Каждая L-цилиндрическая в широком смысле комплекснозначная мера на E является аддитивной функцией множества на алгебре A_L . Достаточные условия для счетной аддитивности такой меры --- глубокий вопрос, который в данном изложении можно не затрагивать; отметим, однако, что он частично решается в терминах преобразования Фурье цилиндрических мер, о котором дальше речь пойдёт и которое играет важную роль в дальнейших конструкциях. Необходимым условием продолжимости такой меры m до комплекснозначной счётноаддитивной меры на сигма-алгебре, порожденную алгеброй A_L , является ограниченность множества значений меры m; этим мотивируется введение следующего понятия.

1.8. Под L-цилиндрической в узком смысле комплекснозначной мерой на E будем понимать каждую такую L-цилиндрическую в широком смысле комплекснозначную меру m на E, которая имеет конечную (=ограниченную) полную вариацию, то есть, которая имеет ограниченное множество значений как отображение из A_L в нормированное поле C = C¹ комплексных чисел.

1.9. В книге "Континуальные интегралы" О.Г.Смолянова и Е.Т.Шавгулидзе под цилиндрической мерой понимается как раз то, что в нашей терминологии названо цилиндрической мерой в узком смысле.

1.10. Алгебра борелевских цилиндрических множеств на вещественном гильбертовом пространстве H (при этом допускается и конечномерность H, и несепарабельность) определяется как A_L в случае, когда
E=H и L=H' (=H*=L(H,R) в обозначениях стандартного курса функционального анализа, то есть, множество непрерывных линейных однородных функционалов на Н).
В силу естественного изоморфизма между H и H', вместо A_H' пишем A_H .
Соответственно, H'-цилиндрические меры на Н будем называть Н-цилиндрическими.
В первую очередь нас будут интересовать C-значные H-цилиндрические меры.

1.11. В предыдущих обозначениях, упомянутое преобразование Фурье существует для каждой C-значной L-цилиндрической меры на E как C-значная функция на множестве L, но для определения этого преобразования и других структур бесконечномерного анализа удобно пользоваться следующим понятием L-цилиндрической функции.

L-цилиндрическую функцию на E со значениями в некотором множестве Y определяем как произвольную функцию
ф : E --> Y которую можно представить (как правило, не единственным образом) в виде композиции (1):

ф(x)=ф₀(f(x)), (1)

где
f : E --> R^n(f) --- линейный оператор из класса F_L(E), и
ф₀ : R^n(f) --> Y
--- произвольное отображение, называемое базовым.

1.12. В частности, индикаторная функция L-цилиндрического множества есть цилиндрическая функция со значениями в двухэлементном множестве {0; 1}
и борелевским базовым (являющимся, конечно, борелевской индикаторной функцией на евклидовом R^n(f) , где под индикаторной всегда понимаем функцию со значениями в двухэлементном множестве {0; 1}) отображением ф₀ .

Вообще, в терминах теории локально выпуклых пространств, непрерывные или борелевские, но обязательно ограниченные L-цилиндрические комплекснозначные функции на E находятся в естественной интегральной двойственности с пространством M_L(E,C) всех C-значных L-цилиндрических в широком смысле комплекснозначных мер.

2. Построим несколько пространств C-значных пробных функций на H, удобных для сопоставления каждой H-цилиндрической мере на H единственной обобщенной функции.

2.1. Во-первых, определим пространство функций типа Эрмита с параметром 1 на H и будем обозначать его НF₁(H) (Hermitean functions).

2.1.1. Для этого сначала введём в рассмотрение положительную функцию
g₁ : H --> R формулой g₁(x) = exp(-п||x||²)
(п=3,14159... ); эта функция будет иногда играть роль вакуумного вектора в некотором естественном представлении бозонных канонических коммутационных соотношений.

2.1.2. Кроме того, введём пространство C-значных непрерывных H-цилиндрических полиномов (complex continuous cylindric polynomials)
СССP(H)
--- то есть, пространство всевозможных таких C-значных функций на H, которые можно записать как многочлен с комплексными коэффициентами от конечного числа координат относительно некоторого ортонормированного базиса в H,
или, ещё другими словами, как непрерывные C-значные Н-цилиндрические функции, для которых вещественная и мнимая части базисных отображений являются обычными многочленами на конечномерном вещественном линейном пространстве.

2.1.3. Пространство НF₁(H) теперь можно определить как произведение
НF₁(H) = {g₁}CCCP(H) = { g₁f : f из CCCP(H) },
то есть, как пространство всевозможных произведений вакуумной гауссианы g₁ на комплекснозначные непрерывные H-цилиндрические полиномы f.

2.1.4. Пространство НF₁(H) инвариантно относительно некоторого унитарного оператора типа преобразования Фурье, но не инвариантно относительно сдвигов (вдоль векторов из области определения). Поэтому для дальнейшего удобно рассмотреть более широкое пространство S₁(H) пробных функций типа пространства Шварца, которое обладает обеими инвариантностями.



Определим теперь свойство <<дифференцируемость по Фомину в направлении v из E>> для L-цилидрической C-значной меры m на E.